Costumo fazer uma analogia comparando site com carro e para falar sobre problemas de performance no WordPress acredito que a comparação caberá bem para essa situação. Encarar o seu site como um bem durável é sempre uma boa, te faz lembrar que ele precisa de alguns cuidados periódicos, caso contrário pode acabar ficando muito lento e obsoleto.
Problemas de performance no WordPress ou no carro
Na maioria das vezes, esse tipo de problema é consequência de falta de cuidados periódicos. Assim como um carro precisa de calibrar os pneus, trocar o óleo e fazer revisões, o seu site ou blog WordPress também precisa de atualizações, revisões de segurança e as devidas aplicações para manter ou melhorar sua performance.
Faça a vistoria dos problemas de performance do WordPress no PageSpeed
Você deve começar pela análise do seu site para isso existem muitas ferramentas que auditam a performance de sites e blogs, a mais conhecida é o Google PageSpeed
Avalie o tempo de resposta do servidor
O tempo de resposta do servidor conta muito para a performance. O tempo de resposta do servidor mede quanto tempo ele leva para carregar o HTML necessário para começar a processar a página. Esse tempo não pode ultrapassar 200 ms.
Rebaixe o cabeçote, quero dizer, compacte o HTTP
Compactar o HTML faz com que a quantidade de tempo exigida para fazer o download dos recursos necessários para processar seu site seja menor, carregando a página mais rápido.
Deixe o site levinho otimizando as imagens
Otimizar imagens na internet significa deixá-las mais leves. Assim, economiza-se muitos bytes de dados, poupa o tempo para os usuários com conexões lentas e grana dos usuários com planos de dados limitados. A forma correta de formatar e compactar imagens melhora e muito a performance sem perder qualidade e para isso existem ótimas ferramentas de compactação.
Alivie o peso, reduza os recursos como HTML, CSS e JavaScript
Para que ficar carregando muita bagagem, elimine bytes desnecessários, como espaços extras, quebras de linha e recuos. A compactação desses recursos aceleram o download, a análise e o tempo de execução.
WordPress velho não serve para nada
Além de melhorar a segurança e o banco de dados, as versões mais atualizadas do WordPress possuem códigos otimizados para reduzir o consumo de recursos no seu site.
Se não serve mais, jogue fora
Analise os plugins e widgets em uso, se não utiliza muito o plugin ou aquele plugin que você utiliza consome muito do WP, considere desabilitá-lo.
Chame o super cache para te ajudar.
Considere também instalar o WP Super Cache ele é um plugin simples e fácil de gerenciar,
Voltando a analogia carro/site é bom lembrar que nem todo mundo é mecânico ou tem habilidade extrema com WordPress, por isso é recomendado muita cautela na hora de resolver problemas de performance no WordPress ou qualquer outro tipo de problema.
Não estou dizendo que você mesmo não possa ser o mecânico do seu WP, mas sugiro que tenha sempre muito cuidado, faça sempre backup para garantir que todas as funcionalidades do seu site se mantenham intactas e caso tenha dúvidas procure sites e fóruns confiáveis é bem possível que outras pessoas possam te ajudar.